Analyse : Dérivation et applications - STMG
Sens de variation
Exercice 1 : Étude détaillée d'un polynôme de degré 3 (version simplifiée)
Soit \(f\) une fonction définie pour tout nombre réel \(x\) de l'intervalle
\(\left[-5; 9\right]\) par :
\[f: x \mapsto -2x^{3} + 12x^{2} + 72x -20\]
On notera \(f'\) la fonction dérivée de la fonction \(f\).Déterminer pour tout \(x\) appartenant à l'intervalle \(\left[-5; 9\right]\),
l'expression de \(f'(x)\).
Parmi les expressions ci-dessous, laquelle correspond à \(f'(x)\) pour
tout \(x\) de l'intervalle \(\left[-5; 9\right]\) ?
Étudier le signe de \(f'\) pour tout \(x\) appartenant à l'intervalle
\(\left[-5; 9\right]\).
En déduire le tableau de variations de la fonction \(f\) sur l'intervalle
\(\left[-5; 9\right]\).
Exercice 2 : Utilisation de la dérivation pour déterminer un bénéfice
Un producteur de cerises cultive, ramasse et conditionne entre 0 et
55 kg de ce produit par semaine durant la période de production
des cerises. On désigne par \( B(x) \) le bénéfice hebdomadaire, en
euros, réalisé par la vente de \( x \) kg de cerises.
La fonction \( B \) est définie sur \( \left[0; 55\right] \) par :
\[ B(x) = x^{3} -60x^{2} + 1125x + 1 \]
Trouver le couple \( (f,g) \) tel que, pour tout \( x \) de \( \left[0; 55\right] \), \( B'(x) = 3f(x)g(x) \)
Déterminer le tableau de signes de \( f \) sur \( \left[0; 55\right] \)
Déterminer le tableau de signes de \( g \) sur \( \left[0; 55\right] \).
En déduire le tableau de variations de \( B \) sur \( \left[0; 55\right] \).
Pour quelle quantité de cerises le bénéfice du producteur est-il maximal ?
À combien s'élève ce bénéfice ?
Exercice 3 : Trouver la tangente à la courbe représentative d'un polynôme de degré 2 en un point
Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = -6x^{2} + 7x -4 \) au point d'abscisse \( -1 \).
Exercice 4 : Tableau de variations de kx², sur [0; 5]
Établir le tableau de variations de la fonction \(f: x \mapsto 3x^{2}\), sur l'intervalle \(\left[0; 5\right]\).
Exercice 5 : Tableau de variations guidé d'une fonction polynôme de degré 3
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\left[-1; 7\right]\) par \( f(x) = -24x -2x^{3} + 15x^{2} -1 \)
Calculer \(f'(x)\)
Trouver le couple \( (g,h) \) tel que pour tout \(x\) de \(\left[-1; 7\right]\) \( f'(x) = -6g(x)h(x) \)
Déterminer le tableau de signes de \(g\) sur \(\left[-1; 7\right]\)
Déterminer le tableau de signes de \(h\) sur \(\left[-1; 7\right]\)
En déduire le tableau de variations de \(f\) sur \(\left[-1; 7\right]\)